Giải Bài 2.17 trang 66 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $ABCD$ là mặt đáy (hình chữ nhật) và $AA'$ là cạnh bên. Ta có $A \equiv O = (0;0;0)$, còn ba đỉnh đã cho:
$$D(2;0;0),\quad B(0;4;0),\quad A'(0;0;3).$$
Ba vectơ cạnh xuất phát từ $A$ là:
$$\vec{AB}=(0;4;0),\quad \vec{AD}=(2;0;0),\quad \vec{AA'}=(0;0;3).$$
(Chúng đôi một vuông góc, phù hợp với hình hộp chữ nhật.)

a) Đỉnh $C$ (mặt đáy dưới).
Trong hình chữ nhật $ABCD$ ta có $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}=(0;4;0)+(2;0;0)=(2;4;0)$.
Do $A$ là gốc nên toạ độ $C$ chính là toạ độ của $\vec{AC}$:
$$C=(2;4;0).$$

b) Đỉnh $B'$.
$\vec{AB'}=\vec{AB}+\vec{AA'}=(0;4;0)+(0;0;3)=(0;4;3)$, suy ra
$$B'=(0;4;3).$$

c) Đỉnh $D'$.
$\vec{AD'}=\vec{AD}+\vec{AA'}=(2;0;0)+(0;0;3)=(2;0;3)$, suy ra
$$D'=(2;0;3).$$

d) Đỉnh $C'$.
$\vec{AC'}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA'}=(2;4;0)+(0;0;3)=(2;4;3)$, suy ra
$$C'=(2;4;3).$$

Kiểm tra. Các cạnh của hình hộp: $AB=4,\ AD=2,\ AA'=3$. Đường chéo $AC'=\sqrt{2^2+4^2+3^2}=\sqrt{29}$, đúng bằng độ dài đoạn nét đứt $AC'$ trong hình vẽ. Các mặt trên và dưới song song, các đỉnh tương ứng chênh nhau đúng vectơ $\vec{AA'}=(0;0;3)$ — hợp lí.

Đáp số