Giải Hoạt động 3 trang 70 SGK Toán 12

Lời giải

a) Các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc trên các trục $Ox, Oy, Oz$.

- Vì $\vec{i}$ là vectơ đơn vị nên $|\vec{i}| = 1$, do đó
$$\vec{i} \cdot \vec{i} = |\vec{i}| \cdot |\vec{i}| \cdot \cos 0^\circ = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.$$
- Vì $\vec{i} \perp \vec{j}$ và $\vec{i} \perp \vec{k}$ (các trục toạ độ vuông góc với nhau) nên
$$\vec{i} \cdot \vec{j} = |\vec{i}| \cdot |\vec{j}| \cdot \cos 90^\circ = 0, \qquad \vec{i} \cdot \vec{k} = |\vec{i}| \cdot |\vec{k}| \cdot \cos 90^\circ = 0.$$
Vậy $\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$ và $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = 0$.

b) Tương tự câu a) ta cũng có $\vec{j} \cdot \vec{j} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1$ và $\vec{j} \cdot \vec{k} = 0$.

Dùng biểu diễn $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ và tính chất của tích vô hướng:
$$\vec{a} \cdot \vec{i} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{i} = x(\vec{i} \cdot \vec{i}) + y(\vec{j} \cdot \vec{i}) + z(\vec{k} \cdot \vec{i}) = x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = x.$$
$$\vec{a} \cdot \vec{j} = x(\vec{i} \cdot \vec{j}) + y(\vec{j} \cdot \vec{j}) + z(\vec{k} \cdot \vec{j}) = x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0 = y.$$
$$\vec{a} \cdot \vec{k} = x(\vec{i} \cdot \vec{k}) + y(\vec{j} \cdot \vec{k}) + z(\vec{k} \cdot \vec{k}) = x \cdot 0 + y \cdot 0 + z \cdot 1 = z.$$
Vậy $\vec{a} \cdot \vec{i} = x$, $\vec{a} \cdot \vec{j} = y$, $\vec{a} \cdot \vec{k} = z$.

c) Dùng biểu diễn $\vec{b} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$ và kết quả câu b):
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}) = x'(\vec{a} \cdot \vec{i}) + y'(\vec{a} \cdot \vec{j}) + z'(\vec{a} \cdot \vec{k}).$$
Thay $\vec{a} \cdot \vec{i} = x$, $\vec{a} \cdot \vec{j} = y$, $\vec{a} \cdot \vec{k} = z$ ta được
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = xx' + yy' + zz'.$$
Đây chính là biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian.

Đáp số