Giải Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 12

Lời giải

Trong Ví dụ 3, tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều có độ dài các cạnh bằng $1$, với $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AC}$, $\vec{c} = \vec{AD}$. Vì mọi cạnh đều bằng $1$ nên $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.

Áp dụng hằng đẳng thức về bình phương vô hướng của một tổng:
$$\left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \vec{a}^{\,2} + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^{\,2}.$$

Tính các bình phương vô hướng. Ta có
$$\vec{a}^{\,2} = |\vec{a}|^2 = 1, \qquad \vec{b}^{\,2} = |\vec{b}|^2 = 1.$$

Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Góc giữa hai vectơ $\vec{a} = \vec{AB}$ và $\vec{b} = \vec{AC}$ là góc $\widehat{BAC}$. Do tam giác $ABC$ là tam giác đều nên $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Vậy
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos\left(\vec{a}, \vec{b}\right) = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}.$$

Kết luận. Thay vào công thức trên:
$$\left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = 1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 1 = 3.$$

Kiểm tra lại: $\left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = |\vec{AB} + \vec{AC}|^2$. Vì $\vec{AB} + \vec{AC}$ có độ dài bằng $2$ lần trung tuyến từ $A$ của tam giác đều cạnh $1$, tức $2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$, nên bình phương bằng $3$ — phù hợp với kết quả.

Đáp số