Giải Luyện tập 6 trang 72 SGK Toán 12

Lời giải

Tình huống mở đầu. Trong phân tử methane $CH_4$, nguyên tử carbon $C$ nằm ở tâm của một tứ diện đều, bốn nguyên tử hydrogen $H_1,H_2,H_3,H_4$ nằm ở bốn đỉnh. Góc $\alpha$ là góc giữa hai liên kết, tức góc $\widehat{H_iCH_j}$.

Bước 1. Đặt các vectơ liên kết. Xét bốn vectơ
$$\vec{u}_1=\overrightarrow{CH_1},\ \vec{u}_2=\overrightarrow{CH_2},\ \vec{u}_3=\overrightarrow{CH_3},\ \vec{u}_4=\overrightarrow{CH_4}.$$
Do tứ diện đều nên bốn vectơ có cùng độ dài, đặt $|\vec{u}_i|=a>0$. Do tính đối xứng, góc giữa hai vectơ bất kì đều bằng $\alpha$, nên với mọi $i\ne j$:
$$\vec{u}_i\cdot\vec{u}_j=a^2\cos\alpha.$$

Bước 2. Tính chất tâm (trọng tâm) tứ diện đều. Vì $C$ là tâm của tứ diện đều $H_1H_2H_3H_4$ nên
$$\vec{u}_1+\vec{u}_2+\vec{u}_3+\vec{u}_4=\vec{0}.$$

Bước 3. Nhân vô hướng hai vế với $\vec{u}_1$.
$$\vec{u}_1\cdot\vec{u}_1+\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2+\vec{u}_1\cdot\vec{u}_3+\vec{u}_1\cdot\vec{u}_4=0.$$
Thay $\vec{u}_1\cdot\vec{u}_1=a^2$ và ba tích còn lại bằng $a^2\cos\alpha$:
$$a^2+3a^2\cos\alpha=0\ \Rightarrow\ a^2(1+3\cos\alpha)=0.$$
Vì $a>0$ nên
$$1+3\cos\alpha=0\ \Rightarrow\ \cos\alpha=-\dfrac{1}{3}.$$

Bước 4. Tính góc.
$$\alpha=\arccos\!\left(-\dfrac{1}{3}\right)\approx 109^\circ 28'\approx 109{,}47^\circ.$$

Nhận xét. Vì $\cos\alpha=-\dfrac13<0$ nên $\alpha$ là góc tù, phù hợp với hình dạng tứ diện đều và đúng bằng góc liên kết đã biết của phân tử methane.

Đáp số