Giải Bài 2.22 trang 73 SGK Toán 12

Lời giải

a) Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$

Trọng tâm $G$ có toạ độ là trung bình cộng các toạ độ tương ứng của ba đỉnh:
$$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+0+4}{3}=\frac{5}{3},$$
$$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{0+(-3)+(-1)}{3}=-\frac{4}{3},$$
$$z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{1+1+4}{3}=2.$$
Vậy $G\left(\dfrac{5}{3};\ -\dfrac{4}{3};\ 2\right)$.

b) Chứng minh $\widehat{BAC}=90^\circ$

Ta có:
$$\overrightarrow{AB}=(0-1;\ -3-0;\ 1-1)=(-1;\ -3;\ 0),$$
$$\overrightarrow{AC}=(4-1;\ -1-0;\ 4-1)=(3;\ -1;\ 3).$$
Xét tích vô hướng:
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)\cdot 3+(-3)\cdot(-1)+0\cdot 3=-3+3+0=0.$$
Vì $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ nên $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$, suy ra $\widehat{BAC}=90^\circ$ (đpcm).

c) Tính $\widehat{ABC}$

Góc $\widehat{ABC}$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$:
$$\overrightarrow{BA}=(1-0;\ 0-(-3);\ 1-1)=(1;\ 3;\ 0),$$
$$\overrightarrow{BC}=(4-0;\ -1-(-3);\ 4-1)=(4;\ 2;\ 3).$$
Ta có:
$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot 4+3\cdot 2+0\cdot 3=10,$$
$$|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{1^2+3^2+0^2}=\sqrt{10},\qquad |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4^2+2^2+3^2}=\sqrt{29}.$$
Do đó:
$$\cos\widehat{ABC}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}=\frac{10}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{29}}=\frac{10}{\sqrt{290}}\approx 0{,}587.$$
Suy ra $\widehat{ABC}\approx 54^\circ$.

Đáp số