Giải Bài 2.36 trang 75 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Phân tích giả thiết để định vị $M$, $N$.

Từ $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\vec{0}$, ta có $\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{AM}$. Suy ra $M$ nằm trên đoạn $AB$ và:
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AM}\ \Rightarrow\ \overrightarrow{AM}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$$

Từ $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$, ta có $N$ nằm trên đoạn $DC$ và:
$$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{DN}=3\overrightarrow{DN}\ \Rightarrow\ \overrightarrow{DN}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}.$$

Bước 2. Chèn điểm để tách $\overrightarrow{MN}$ theo hai đường khác nhau.

Đi theo đường $M\to A\to D\to N$:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=-\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}.\quad(1)$$

Đi theo đường $M\to B\to C\to N$ (với $\overrightarrow{MB}=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CN}=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$):
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\tfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}.\quad(2)$$

Bước 3. Khử $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

Nhân $(1)$ với $2$ rồi cộng với $(2)$; chú ý $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$ nên $\tfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\tfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}=\vec{0}$ và $-\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\vec{0}$:
$$3\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.$$

Vậy:
$$\boxed{\ \overrightarrow{MN}=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}.\ }$$

Kiểm tra lại bằng tọa độ vị trí (chọn điểm gốc tùy ý): $M=\tfrac{2A+B}{3}$, $N=\tfrac{2D+C}{3}$, nên
$$\overrightarrow{MN}=N-M=\tfrac{1}{3}\big[(2D+C)-(2A+B)\big]=\tfrac{1}{3}\big[2(D-A)+(C-B)\big]=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$$
Kết quả trùng khớp.

Đáp số