Giải Bài 2.37 trang 75 SGK Toán 12

Lời giải

a) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AA'}$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BDA'$ nên với điểm $A$ bất kì ta có:

$$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\right).$$

b) Chứng minh $A$, $G$, $C'$ thẳng hàng

Xét đường chéo $AC'$ của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Theo quy tắc hình hộp:

$$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}.$$

So sánh với kết quả câu a):

$$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\right) = \frac{1}{3}\,\overrightarrow{AC'}.$$

Vì $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AC'}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AC'}$ cùng phương, có chung điểm $A$. Do đó ba điểm $A$, $G$, $C'$ thẳng hàng (đpcm). Hơn nữa, $G$ nằm trên đoạn $AC'$ và $AG = \dfrac{1}{3}AC'$.

Đáp số