Giải Bài 2.38 trang 75 SGK Toán 12

Lời giải

a) Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có toạ độ là trung bình cộng toạ độ ba đỉnh:
$$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{2+1+(-1)}{3}=\frac{2}{3}$$
$$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-1+1+0}{3}=0$$
$$z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{3+(-1)+2}{3}=\frac{4}{3}$$

Vậy $G\left(\dfrac{2}{3};\,0;\,\dfrac{4}{3}\right)$.

b) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho $BM\perp AC$.

Vì $M$ thuộc trục $Oz$ nên $M(0;0;m)$.

Ta có:
$$\vec{BM}=(0-1;\,0-1;\,m-(-1))=(-1;\,-1;\,m+1)$$
$$\vec{AC}=(-1-2;\,0-(-1);\,2-3)=(-3;\,1;\,-1)$$

Đường thẳng $BM$ vuông góc với đường thẳng $AC$ khi và chỉ khi $\vec{BM}\cdot\vec{AC}=0$:
$$\vec{BM}\cdot\vec{AC}=(-1)\cdot(-3)+(-1)\cdot 1+(m+1)\cdot(-1)=3-1-(m+1)=1-m$$

Cho $1-m=0\Rightarrow m=1$.

Vậy $M(0;0;1)$.

*Kiểm tra:* với $M(0;0;1)$ thì $\vec{BM}=(-1;-1;2)$, $\vec{AC}=(-3;1;-1)$, tích vô hướng $=3-1-2=0$ — thoả mãn.

Đáp số