Giải Bài 2.41 trang 75 SGK Toán 12

Lời giải

a) Toạ độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ và độ dài $AB$

Ta có $A(4;2;-1)$, $B(1;-1;2)$ nên
$$\overrightarrow{AB}=(1-4;\,-1-2;\,2-(-1))=(-3;-3;3).$$
Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$:
$$AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}.$$

b) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}$

Từ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{AB}=(3;3;-3)$.

Gọi $M(x;y;z)$, với $C(0;-2;3)$ ta có $\overrightarrow{CM}=(x-0;\,y+2;\,z-3)$. Do đó
$$\begin{cases}x-0=3\\ y+2=3\\ z-3=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=3\\ y=1\\ z=0.\end{cases}$$
Vậy $M(3;1;0)$.

c) Tìm điểm $N\in(Oxy)$ để $A$, $B$, $N$ thẳng hàng

Vì $N$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên $N(x;y;0)$.

Ba điểm $A$, $B$, $N$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AN}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$, tức là tồn tại số $t$ để $\overrightarrow{AN}=t\,\overrightarrow{AB}$.

Ta có $\overrightarrow{AN}=(x-4;\,y-2;\,0-(-1))=(x-4;\,y-2;\,1)$. Suy ra
$$\begin{cases}x-4=-3t\\ y-2=-3t\\ 1=3t.\end{cases}$$
Từ phương trình thứ ba: $t=\dfrac{1}{3}$. Thay vào:
$$x-4=-3\cdot\tfrac{1}{3}=-1\Rightarrow x=3,\qquad y-2=-1\Rightarrow y=1.$$
Vậy $N(3;1;0)$.

*Kiểm tra:* $\overrightarrow{AN}=(-1;-1;1)$ và $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)=3\,\overrightarrow{AN}$ nên hai vectơ cùng phương, ba điểm $A$, $B$, $N$ thẳng hàng (thoả mãn).

Đáp số