Giải Bài 4.13 trang 19 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập vận tốc trung bình.

Vận tốc trung bình của dòng máu đối với biến $r$ trên đoạn $0 \le r \le R$ được tính bằng công thức giá trị trung bình của hàm số qua tích phân:
$$\bar{v} = \frac{1}{R-0}\int_0^R v\,dr = \frac{1}{R}\int_0^R k(R^2 - r^2)\,dr.$$

Tính tích phân.

$$\int_0^R k(R^2 - r^2)\,dr = k\left[R^2 r - \frac{r^3}{3}\right]_0^R = k\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) = k\cdot \frac{2R^3}{3} = \frac{2kR^3}{3}.$$

Do đó
$$\bar{v} = \frac{1}{R}\cdot \frac{2kR^3}{3} = \frac{2}{3}kR^2.$$

So sánh với vận tốc lớn nhất.

Vì $v = k(R^2 - r^2)$ với $k>0$ và $0 \le r \le R$, hàm số đạt giá trị lớn nhất khi $r = 0$ (tại tâm động mạch), tức là
$$v_{\max} = k(R^2 - 0) = kR^2.$$

So sánh:
$$\frac{\bar{v}}{v_{\max}} = \frac{\tfrac{2}{3}kR^2}{kR^2} = \frac{2}{3}.$$

Vậy vận tốc trung bình bằng $\dfrac{2}{3}$ vận tốc lớn nhất.

Kiểm tra: tại $r=0$ thì $v=kR^2$ (lớn nhất), tại $r=R$ thì $v=0$ (nhỏ nhất); giá trị trung bình $\tfrac{2}{3}kR^2$ nằm giữa $0$ và $kR^2$, hợp lí.

Đáp số