Giải Hoạt động 1 trang 20 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tính diện tích $S$

Đường thẳng $y = f(x) = x + 1$ cắt trục hoành tại điểm có $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1$.

- Trên đoạn $[-2; -1]$: $f(x) = x + 1 \le 0$, phần hình phẳng là tam giác dưới trục hoành. Tại $x = -2$ thì $f(-2) = -1$, nên tam giác có hai cạnh góc vuông độ dài $1$ và $1$:
$$S_1 = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}.$$
- Trên đoạn $[-1; 1]$: $f(x) = x + 1 \ge 0$, phần hình phẳng là tam giác trên trục hoành. Tại $x = 1$ thì $f(1) = 2$, nên tam giác có hai cạnh góc vuông độ dài $2$ và $2$:
$$S_2 = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2 = 2.$$

Vậy diện tích hình phẳng là
$$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.$$

b) Tính $\displaystyle\int_{-2}^{1} |f(x)|\,dx$ và so sánh với $S$

Vì $f(x) = x + 1 \le 0$ trên $[-2; -1]$ và $f(x) = x + 1 \ge 0$ trên $[-1; 1]$ nên
$$|f(x)| = \begin{cases} -(x+1) & \text{khi } -2 \le x \le -1,\\[4pt] x+1 & \text{khi } -1 \le x \le 1. \end{cases}$$

Do đó
$$\int_{-2}^{1} |f(x)|\,dx = \int_{-2}^{-1} \big[-(x+1)\big]\,dx + \int_{-1}^{1} (x+1)\,dx.$$

Tính từng tích phân:
$$\int_{-2}^{-1} \big[-(x+1)\big]\,dx = -\left[\frac{x^2}{2} + x\right]_{-2}^{-1} = -\left[\left(\frac{1}{2}-1\right) - \left(2-2\right)\right] = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}.$$
$$\int_{-1}^{1} (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + x\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{2}+1\right) - \left(\frac{1}{2}-1\right) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = 2.$$

Suy ra
$$\int_{-2}^{1} |f(x)|\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.$$

So sánh: $\displaystyle\int_{-2}^{1} |f(x)|\,dx = \frac{5}{2} = S.$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -2$, $x = 1$ đúng bằng $\displaystyle\int_{-2}^{1} |f(x)|\,dx$.

Đáp số