Giải Luyện tập 1 trang 21 SGK Toán 12
Đề bài
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2 - 4$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3$ (H.4.15).
Mô tả hình bằng lời
Hình 4.15: Đồ thị parabol $y = x^2 - 4$ trong hệ trục Oxy. Parabol cắt trục hoành tại $x = 2$ (trong khoảng đang xét), có đỉnh tại $(0; -4)$. Trên trục hoành các mốc từ $-1$ đến $4$; trên trục tung các mốc từ $-4$ đến $5$. Phần hình phẳng được tô màu nằm giữa đồ thị và trục hoành, giới hạn bởi $x = 0$ và $x = 3$: từ $x=0$ đến $x=2$ đồ thị nằm dưới trục hoành (phần dưới), từ $x=2$ đến $x=3$ đồ thị nằm trên trục hoành (đạt giá trị $5$ tại $x=3$).
Lời giải
Bước 1. Xét dấu của $y = x^2 - 4$ trên đoạn $[0; 3]$.
Ta có $x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (vì $x \in [0;3]$).
- Trên $[0; 2]$: $x^2 - 4 \le 0$ nên đồ thị nằm dưới trục hoành.
- Trên $[2; 3]$: $x^2 - 4 \ge 0$ nên đồ thị nằm trên trục hoành.
Bước 2. Viết công thức diện tích.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2 - 4$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3$ là:
$$S = \int_0^3 \left| x^2 - 4 \right|\,dx = \int_0^2 (4 - x^2)\,dx + \int_2^3 (x^2 - 4)\,dx.$$
Bước 3. Tính từng tích phân.
$$\int_0^2 (4 - x^2)\,dx = \left( 4x - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_0^2 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}.$$
$$\int_2^3 (x^2 - 4)\,dx = \left( \frac{x^3}{3} - 4x \right) \Big|_2^3 = \left( 9 - 12 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}.$$
Bước 4. Kết luận.
$$S = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7{,}67 \text{ (đơn vị diện tích)}.$$
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.