Giải Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tính $S_1$, $S_2$ và suy ra $S$.

Trên đoạn $[1;3]$, ta có $f(x) = -x^2 + 4x \ge 0$ (vì $f(1)=3$, $f(3)=3$, $f(2)=4$) nên đồ thị parabol nằm phía trên trục hoành. Do đó:

$$S_1 = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x)\,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{1}^{3}.$$

$$= \left( -\frac{27}{3} + 2\cdot 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 \right) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{22}{3}.$$

Trên đoạn $[1;3]$, ta có $g(x) = x > 0$ nên đường thẳng $y=x$ nằm phía trên trục hoành. Do đó:

$$S_2 = \int_{1}^{3} x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4.$$

Quan sát H.4.16: trên đoạn $[1;3]$ parabol $y=-x^2+4x$ nằm trên, đường thẳng $y=x$ nằm dưới, và cả hai đều nằm trên trục hoành. Hình phẳng có diện tích $S$ chính là phần nằm giữa hai đồ thị, thu được bằng cách lấy hình phẳng ứng với $S_1$ bỏ đi phần hình phẳng ứng với $S_2$. Vậy:

$$S = S_1 - S_2 = \frac{22}{3} - 4 = \frac{22}{3} - \frac{12}{3} = \frac{10}{3}.$$

b) Tính $\displaystyle\int_{1}^{3} |f(x) - g(x)|\,dx$ và so sánh với $S$.

Xét hiệu:

$$f(x) - g(x) = (-x^2 + 4x) - x = -x^2 + 3x = x(3 - x).$$

Trên đoạn $[1;3]$ ta có $x > 0$ và $3 - x \ge 0$, nên $f(x) - g(x) \ge 0$, suy ra $|f(x) - g(x)| = -x^2 + 3x$. Do đó:

$$\int_{1}^{3} |f(x) - g(x)|\,dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 3x)\,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{3}.$$

$$= \left( -9 + \frac{27}{2} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} \right) = \frac{9}{2} - \frac{7}{6} = \frac{27}{6} - \frac{7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}.$$

So sánh với kết quả ở câu a), ta thấy:

$$\int_{1}^{3} |f(x) - g(x)|\,dx = \frac{10}{3} = S.$$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ đúng bằng $\displaystyle\int_{1}^{3} |f(x) - g(x)|\,dx$.

Đáp số