Giải Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác định hàm nằm trên trên đoạn $[1;4]$.

Xét hiệu $\sqrt{x} - (x-2)$ trên đoạn $[1;4]$.

Giải phương trình $\sqrt{x} = x - 2$ với điều kiện $x \ge 0$. Đặt $t = \sqrt{x} \ge 0$, ta được $t = t^2 - 2$, tức $t^2 - t - 2 = 0 \Leftrightarrow (t-2)(t+1) = 0$. Vì $t \ge 0$ nên $t = 2$, suy ra $x = 4$.

Trên $[1;4)$ hai đồ thị không cắt nhau; thử $x = 1$: $\sqrt{1} = 1 > 1 - 2 = -1$. Do đó trên toàn đoạn $[1;4]$ ta có $\sqrt{x} \ge x - 2$.

Bước 2. Lập công thức tính diện tích.

$$S = \int_{1}^{4} \left| \sqrt{x} - (x-2) \right|\,dx = \int_{1}^{4} \left( \sqrt{x} - x + 2 \right)\,dx.$$

Bước 3. Tính tích phân.

Một nguyên hàm là

$$F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^2}{2} + 2x.$$

Do đó

$$S = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{1}^{4}.$$

Tại $x = 4$: $\dfrac{2}{3}\cdot 4\cdot 2 - \dfrac{16}{2} + 8 = \dfrac{16}{3} - 8 + 8 = \dfrac{16}{3}.$

Tại $x = 1$: $\dfrac{2}{3}\cdot 1 \cdot 1 - \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{13}{6}.$

Vậy

$$S = \frac{16}{3} - \frac{13}{6} = \frac{32}{6} - \frac{13}{6} = \frac{19}{6}.$$

Kết luận: Diện tích hình phẳng là $S = \dfrac{19}{6} \approx 3{,}17$ (đơn vị diện tích).

Đáp số