Giải Vận dụng 1 trang 23 SGK Toán 12
Đề bài
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá $p$ của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá $p$ của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau $(x_0; p_0)$ của đồ thị hàm cầu $p = D(x)$ và đồ thị hàm cung $p = S(x)$ được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $p = p_0$ và đường thẳng đứng $x = 0$ là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang $p = p_0$ và đường thẳng đứng $x = 0$ được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi:
Hàm cầu: $p = -0,36x + 9$ và hàm cung: $p = 0,14x + 2$, trong đó $x$ là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
Mô tả hình bằng lời
Hình 4.19: Hệ trục toạ độ Oxp. Đường cong hàm cầu đi xuống (giảm) từ trên trục p. Đường cong hàm cung đi lên (tăng). Hai đường cắt nhau tại điểm cân bằng có toạ độ $(x_0; p_0)$. Từ điểm cân bằng kẻ đường ngang tới trục p tại $p_0$ và đường đứng xuống trục x tại $x_0$. Vùng phía trên đường $p=p_0$ giữa trục p và đồ thị hàm cầu là 'Thặng dư tiêu dùng'; vùng phía dưới đường $p=p_0$ giữa trục p và đồ thị hàm cung là 'Thặng dư sản xuất'.
Lời giải
Bước 1. Tìm điểm cân bằng $(x_0; p_0)$.
Điểm cân bằng là giao điểm của đồ thị hàm cầu và hàm cung, nên hoành độ $x_0$ là nghiệm của phương trình $D(x) = S(x)$:
$$-0{,}36x + 9 = 0{,}14x + 2$$
$$9 - 2 = 0{,}14x + 0{,}36x \;\Rightarrow\; 7 = 0{,}5x \;\Rightarrow\; x_0 = 14.$$
Suy ra $p_0 = 0{,}14 \cdot 14 + 2 = 3{,}96$ (kiểm tra bằng hàm cầu: $-0{,}36 \cdot 14 + 9 = 3{,}96$, khớp).
Vậy điểm cân bằng là $(x_0; p_0) = (14;\, 3{,}96)$.
Bước 2. Tính thặng dư tiêu dùng.
Thặng dư tiêu dùng là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu $p = D(x)$, đường ngang $p = p_0$ và đường thẳng đứng $x = 0$; đó là phần diện tích dưới đường cầu trên đoạn $[0; x_0]$ trừ đi diện tích hình chữ nhật có kích thước $x_0 \times p_0$:
$$CS = \int_0^{14} (-0{,}36x + 9)\,dx - x_0 p_0.$$
Ta có:
$$\int_0^{14} (-0{,}36x + 9)\,dx = \left[ -0{,}18x^2 + 9x \right]_0^{14} = -0{,}18 \cdot 196 + 9 \cdot 14 = -35{,}28 + 126 = 90{,}72.$$
Và $x_0 p_0 = 14 \cdot 3{,}96 = 55{,}44$. Do đó:
$$CS = 90{,}72 - 55{,}44 = 35{,}28.$$
Bước 3. Tính thặng dư sản xuất.
Thặng dư sản xuất là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung $p = S(x)$, đường ngang $p = p_0$ và đường thẳng đứng $x = 0$; đó là diện tích hình chữ nhật $x_0 \times p_0$ trừ đi phần diện tích dưới đường cung trên đoạn $[0; x_0]$:
$$PS = x_0 p_0 - \int_0^{14} (0{,}14x + 2)\,dx.$$
Ta có:
$$\int_0^{14} (0{,}14x + 2)\,dx = \left[ 0{,}07x^2 + 2x \right]_0^{14} = 0{,}07 \cdot 196 + 2 \cdot 14 = 13{,}72 + 28 = 41{,}72.$$
Do đó:
$$PS = 55{,}44 - 41{,}72 = 13{,}72.$$
Kết luận: Thặng dư tiêu dùng là $35{,}28$ và thặng dư sản xuất là $13{,}72$ (đơn vị tiền tệ tương ứng với mô hình).
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.