Giải Vận dụng 2 trang 24 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập. Đặt khối chóp cụt đều trong hệ trục $Oxyz$ như H.4.24: đỉnh của khối chóp (khi kéo dài) trùng gốc $O$, trục $Ox$ đi qua tâm các đáy. Đáy nhỏ (diện tích $S_0$) nằm ở mặt phẳng vuông góc $Ox$ tại $x=a$, đáy lớn (diện tích $S_1$) nằm tại $x=b$, với $b-a=h$.

Gọi $S(x)$ là diện tích mặt cắt của khối chóp bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại hoành độ $x$ (với $a\le x\le b$). Mặt cắt này đồng dạng với đáy, và tỉ số đồng dạng bằng tỉ số khoảng cách tới đỉnh $O$, tức bằng $\dfrac{x}{b}$ so với đáy lớn. Vì diện tích tỉ lệ với bình phương tỉ số đồng dạng nên
$$S(x)=k\,x^2,\qquad k>0.$$

a) Thể tích khối chóp cụt đều.

Ta có $S_0=k a^2,\ S_1=k b^2$, suy ra $\sqrt{k}\,a=\sqrt{S_0}$ và $\sqrt{k}\,b=\sqrt{S_1}$.

Thể tích khối chóp cụt bằng tích phân diện tích mặt cắt:
$$V=\int_a^b S(x)\,dx=\int_a^b k x^2\,dx=\frac{k}{3}\left(b^3-a^3\right).$$

Phân tích $b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)$, và $b-a=h$, nên
$$V=\frac{k}{3}\,h\left(b^2+ab+a^2\right)=\frac{h}{3}\left(kb^2+k\,ab+ka^2\right).$$

Mà $kb^2=S_1$, $ka^2=S_0$ và $k\,ab=(\sqrt{k}\,b)(\sqrt{k}\,a)=\sqrt{S_1}\cdot\sqrt{S_0}=\sqrt{S_0S_1}$. Do đó
$$\boxed{\,V=\frac{h}{3}\left(S_0+S_1+\sqrt{S_0S_1}\right).\,}$$

b) Suy ra công thức thể tích khối chóp đều.

Khối chóp đều là trường hợp giới hạn của khối chóp cụt khi đáy nhỏ thu về một điểm (đỉnh), tức $S_0\to 0$. Thay $S_0=0$, $S_1=S$ vào công thức trên:
$$V=\frac{h}{3}\left(0+S+\sqrt{0\cdot S}\right)=\frac{1}{3}S\,h.$$

Vậy thể tích khối chóp đều có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là $V=\dfrac{1}{3}Sh$ — đúng với công thức đã biết.

Đáp số