Giải Vận dụng 3 trang 26 SGK Toán 12

Lời giải

a) Thể tích khối nón cụt

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ. Ta có $O(0;0)$, $A(h;0)$, $B(h;R)$ và $C(0;r)$.

Cạnh $CB$ là đoạn thẳng nối $C(0;r)$ với $B(h;R)$, nằm trên đường thẳng có phương trình:

$$y = r + \frac{R-r}{h}\,x,\qquad x\in[0;h].$$

Khi quay hình thang vuông $OABC$ quanh trục $Ox$, phần giới hạn bởi đường thẳng $CB$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=h$ sinh ra khối tròn xoay (khối nón cụt). Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay:

$$V = \pi\int_{0}^{h} y^{2}\,dx = \pi\int_{0}^{h}\left(r + \frac{R-r}{h}\,x\right)^{2}dx.$$

Đặt $u = r + \dfrac{R-r}{h}\,x$ thì $du = \dfrac{R-r}{h}\,dx$, tức $dx = \dfrac{h}{R-r}\,du$. Khi $x=0$ thì $u=r$; khi $x=h$ thì $u=R$. Do đó:

$$V = \pi\int_{r}^{R} u^{2}\cdot\frac{h}{R-r}\,du = \frac{\pi h}{R-r}\cdot\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{r}^{R} = \frac{\pi h}{3}\cdot\frac{R^{3}-r^{3}}{R-r}.$$

Vì $R^{3}-r^{3} = (R-r)(R^{2}+Rr+r^{2})$ nên:

$$\boxed{V = \frac{\pi h}{3}\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right).}$$

b) Suy ra thể tích khối nón

Khối nón có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ là trường hợp riêng của khối nón cụt khi bán kính đáy nhỏ bằng $0$, tức là cho $r = 0$ trong công thức ở câu a):

$$V = \frac{\pi h}{3}\left(R^{2}+R\cdot 0+0^{2}\right) = \frac{1}{3}\pi R^{2} h.$$

Vậy thể tích khối nón có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ là $V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2}h$.

Đáp số