Giải Bài 4.15 trang 26 SGK Toán 12

Lời giải

Công thức sử dụng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x),\;y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a,\;x=b$ là
$$S=\int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

a) Trên đoạn $[-1;1]$ ta có $x^2-1\le 0 < e^x$ nên $e^x-(x^2-1)>0$ với mọi $x\in[-1;1]$. Do đó
$$S=\int_{-1}^{1}\big[e^x-(x^2-1)\big]\,dx=\int_{-1}^{1}\left(e^x-x^2+1\right)dx.$$
Ta có
$$S=\left[e^x-\frac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^{1}=\left(e-\frac13+1\right)-\left(e^{-1}+\frac13-1\right)=e-\frac1e+\frac43.$$
Vậy $S=e-\dfrac1e+\dfrac43\approx 3,68$ (đvdt).

b) Trên đoạn $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ ta có $x\ge \dfrac{\pi}{2}>1\ge \sin x$ nên $x-\sin x>0$. Do đó
$$S=\int_{\pi/2}^{\pi}\left(x-\sin x\right)dx=\left[\frac{x^2}{2}+\cos x\right]_{\pi/2}^{\pi}.$$
Ta có
$$S=\left(\frac{\pi^2}{2}+\cos\pi\right)-\left(\frac{\pi^2}{8}+\cos\frac{\pi}{2}\right)=\left(\frac{\pi^2}{2}-1\right)-\frac{\pi^2}{8}=\frac{3\pi^2}{8}-1.$$
Vậy $S=\dfrac{3\pi^2}{8}-1\approx 2,70$ (đvdt).

c) Xét hiệu $(9-x^2)-2x^2=9-3x^2$. Trên đoạn $[-\sqrt3;\sqrt3]$ ta có $9-3x^2\ge 0$, nên $9-x^2\ge 2x^2$. Do đó
$$S=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\left(9-3x^2\right)dx.$$
Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên
$$S=2\int_{0}^{\sqrt3}\left(9-3x^2\right)dx=2\left[9x-x^3\right]_{0}^{\sqrt3}=2\left(9\sqrt3-3\sqrt3\right)=12\sqrt3.$$
Vậy $S=12\sqrt3\approx 20,78$ (đvdt).

d) Trên đoạn $[0;1]$ ta có $\sqrt{x}\ge x^2$ (vì $0\le x\le 1$). Do đó
$$S=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^2\right)dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac23-\frac13=\frac13.$$
Vậy $S=\dfrac13\approx 0,33$ (đvdt).

Đáp số