Giải Bài 4.16 trang 26 SGK Toán 12

Lời giải

Sự bất bình đẳng về thu nhập là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = x$ và đường cong Lorenz $y = f(x) = \left(0{,}00061x^2 + 0{,}0218x + 1{,}723\right)^2$ với $0 \le x \le 100$, tức là

$$S = \int_{0}^{100}\left[x - f(x)\right]dx = \int_{0}^{100}x\,dx - \int_{0}^{100}f(x)\,dx.$$

Ta có

$$\int_{0}^{100}x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{100} = \frac{100^2}{2} = 5\,000.$$

Khai triển $f(x) = \left(0{,}00061x^2 + 0{,}0218x + 1{,}723\right)^2$, ta được

$$f(x) = 0{,}0000003721x^4 + 0{,}000026596x^3 + 0{,}0025773x^2 + 0{,}0751228x + 2{,}968729,$$

trong đó $0{,}00061^2 = 0{,}0000003721$; $2 \cdot 0{,}00061 \cdot 0{,}0218 = 0{,}000026596$; $0{,}0218^2 + 2 \cdot 0{,}00061 \cdot 1{,}723 = 0{,}0025773$; $2 \cdot 0{,}0218 \cdot 1{,}723 = 0{,}0751228$; $1{,}723^2 = 2{,}968729$.

Do đó

$$\int_{0}^{100}f(x)\,dx = \left.\left[0{,}0000003721 \cdot \frac{x^5}{5} + 0{,}000026596 \cdot \frac{x^4}{4} + 0{,}0025773 \cdot \frac{x^3}{3} + 0{,}0751228 \cdot \frac{x^2}{2} + 2{,}968729x\right]\right|_{0}^{100}.$$

Thay $x = 100$ (chú ý $100^5 = 10^{10}$, $100^4 = 10^8$, $100^3 = 10^6$, $100^2 = 10^4$):

$$\int_{0}^{100}f(x)\,dx = 744{,}2 + 664{,}9 + 859{,}1 + 375{,}614 + 296{,}8729 \approx 2\,940{,}69.$$

Vậy sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là

$$S = 5\,000 - 2\,940{,}69 = 2\,059{,}31.$$

Đáp số