Giải Bài 4.17 trang 27 SGK Toán 12

Lời giải

Nhận xét. Trên đoạn $[0;2]$, ta có $y = 2x - x^2 = x(2-x) \ge 0$, và các đường $y=0$, $x=0$, $x=2$ giới hạn hình phẳng nằm phía trên trục $Ox$.

Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$, thể tích khối tròn xoay là:
$$V = \pi \int_{a}^{b} \big[f(x)\big]^2\,dx.$$

Với $f(x) = 2x - x^2$, $a = 0$, $b = 2$:
$$V = \pi \int_{0}^{2} \big(2x - x^2\big)^2\,dx.$$

Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân.
$$\big(2x - x^2\big)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4.$$

Tính tích phân.
$$V = \pi \int_{0}^{2} \big(4x^2 - 4x^3 + x^4\big)\,dx = \pi \left[\frac{4x^3}{3} - x^4 + \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{2}.$$

Thay cận $x = 2$:
$$\frac{4\cdot 2^3}{3} - 2^4 + \frac{2^5}{5} = \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5}.$$

Quy đồng mẫu số $15$:
$$= \frac{160}{15} - \frac{240}{15} + \frac{96}{15} = \frac{16}{15}.$$

Kết luận.
$$V = \frac{16\pi}{15} \ (\text{đơn vị thể tích}) \approx 3{,}35.$$

Kiểm tra lại. Hàm dưới dấu tích phân $4x^2 - 4x^3 + x^4 \ge 0$ nên $V > 0$ (hợp lý); tính lại $\frac{32}{3} + \frac{32}{5} = \frac{160+96}{15} = \frac{256}{15} \approx 17{,}07$, trừ $16$ được $\frac{16}{15}$ — khớp.

Đáp số