Giải Bài 4.18 trang 27 SGK Toán 12

Lời giải

Áp dụng công thức thể tích vật thể tròn xoay quanh trục $Ox$.

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = R - h$, $x = R$ quanh trục $Ox$, ta được khối chỏm cầu.

Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay:
$$V = \pi \int_{R-h}^{R} [f(x)]^2\, dx$$

Với $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, ta có $[f(x)]^2 = R^2 - x^2$.

Do đó:
$$V = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2)\, dx = \pi \left[R^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{R-h}^{R}$$

Tính giá trị tại các cận:

- Tại $x = R$:
$$R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3} = R^3 - \frac{R^3}{3} = \frac{2R^3}{3}$$

- Tại $x = R - h$, khai triển $(R-h)^3 = R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3$:
$$R^2(R-h) - \frac{(R-h)^3}{3} = R^3 - R^2h - \frac{R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3}{3} = \frac{2R^3}{3} - Rh^2 + \frac{h^3}{3}$$

Hiệu hai giá trị:
$$V = \pi\left[\frac{2R^3}{3} - \left(\frac{2R^3}{3} - Rh^2 + \frac{h^3}{3}\right)\right] = \pi\left(Rh^2 - \frac{h^3}{3}\right)$$

Vậy thể tích khối chỏm cầu là:
$$V = \pi h^2\!\left(R - \frac{h}{3}\right) = \dfrac{\pi h^2(3R - h)}{3}$$

*Thử lại:* Khi $h = R$ (nửa khối cầu): $V = \dfrac{\pi R^2(3R - R)}{3} = \dfrac{2\pi R^3}{3}$, đúng bằng nửa thể tích khối cầu $\dfrac{4}{3}\pi R^3$. ✓

Đáp số