Giải Bài 4.19 trang 27 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập. Chọn hệ trục như hình. Ta có $O(0;0)$, $A(a;0)$ nằm trên $Ox$ với $OA=a$; vì $B$ nằm trên đường vuông góc với $Ox$ tại $A$ nên $B(a;\,h)$, tức tam giác $OAB$ vuông tại $A$.

Trong tam giác vuông tại $A$:
$$AB = OA\cdot\tan\alpha = a\tan\alpha .$$

Đường thẳng $OB$ đi qua gốc $O$ với hệ số góc $\tan\alpha$ nên có phương trình
$$y = x\tan\alpha,\qquad 0\le x\le a .$$

Miền tam giác $OAB$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x\tan\alpha$, trục $Ox$ và đường thẳng $x=a$. Khi quay quanh $Ox$ ta được khối nón đỉnh $O$, chiều cao $OA=a$, bán kính đáy $AB=a\tan\alpha$.

a) Tính thể tích $V$.

Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay:
$$V=\pi\int_{0}^{a} y^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{a}\big(x\tan\alpha\big)^{2}\,dx=\pi\tan^{2}\alpha\int_{0}^{a}x^{2}\,dx.$$

Mà $\displaystyle\int_{0}^{a}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{3}}{3}$, nên
$$\boxed{\,V=\frac{\pi a^{3}}{3}\tan^{2}\alpha\,}.$$

(Đúng bằng công thức thể tích khối nón $\dfrac{1}{3}\pi R^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi (a\tan\alpha)^{2}\cdot a$.)

b) Tìm $\alpha$ để $V$ lớn nhất.

Với $a$ cố định, xét $V(\alpha)=\dfrac{\pi a^{3}}{3}\tan^{2}\alpha$ trên nửa khoảng $\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right]$.

Đạo hàm:
$$V'(\alpha)=\frac{\pi a^{3}}{3}\cdot 2\tan\alpha\cdot\frac{1}{\cos^{2}\alpha}=\frac{2\pi a^{3}\tan\alpha}{3\cos^{2}\alpha}.$$

Trên $\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right]$ ta có $\tan\alpha>0$ và $\cos^{2}\alpha>0$, do đó $V'(\alpha)>0$: hàm $V(\alpha)$ đồng biến trên nửa khoảng đó.

Vậy $V$ đạt giá trị lớn nhất tại đầu mút phải $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$. Khi đó $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ nên
$$V_{\max}=\frac{\pi a^{3}}{3}\cdot 1^{2}=\frac{\pi a^{3}}{3}.$$

Kết luận: $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ thì thể tích lớn nhất, $V_{\max}=\dfrac{\pi a^{3}}{3}$.

Đáp số