Giải Bài 4.25 trang 28 SGK Toán 12
Đề bài
Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2; 2]$ như Hình 4.32.
Biết $\displaystyle\int_{-2}^{-1} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} f(x)\,dx = \dfrac{-22}{15}$ và $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \dfrac{76}{15}$. Khi đó, diện tích của hình phẳng được tô màu là
A. $8$.
B. $\dfrac{22}{15}$.
C. $\dfrac{32}{15}$.
D. $\dfrac{76}{15}$.
Mô tả hình bằng lời
Đồ thị hàm số $y=f(x)$ (đường cong màu đỏ) trên đoạn $[-2; 2]$, có dạng đối xứng qua trục $Oy$. Trên trục hoành đánh dấu các điểm $-2, -1, O, 1, 2$. Đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=1$. Trên khoảng $(-1; 1)$ đồ thị nằm phía trên trục hoành (đạt cực đại tại $x=0$, có phần lõm hình chữ W với điểm giữa nằm trên trục), còn trên các khoảng $(-2; -1)$ và $(1; 2)$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Phần hình phẳng tô màu là toàn bộ diện tích giữa đồ thị và trục hoành trên đoạn $[-2; 2]$.
Lời giải
Phân tích hình phẳng. Đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=1$. Diện tích tô màu là toàn bộ diện tích giữa đồ thị và trục hoành trên $[-2;2]$, được tính theo công thức $S=\displaystyle\int_{-2}^{2}|f(x)|\,dx$. Ta chia thành ba khoảng theo dấu của $f(x)$.
a) Trên khoảng $(-2;-1)$: đồ thị nằm *dưới* trục hoành nên $f(x)\le 0$, do đó $|f(x)|=-f(x)$:
$$S_1=\int_{-2}^{-1}|f(x)|\,dx=-\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx=-\left(\dfrac{-22}{15}\right)=\dfrac{22}{15}.$$
b) Trên khoảng $(-1;1)$: đồ thị nằm *trên* trục hoành nên $f(x)\ge 0$, do đó $|f(x)|=f(x)$:
$$S_2=\int_{-1}^{1}|f(x)|\,dx=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=\dfrac{76}{15}.$$
c) Trên khoảng $(1;2)$: đồ thị nằm *dưới* trục hoành nên $f(x)\le 0$:
$$S_3=\int_{1}^{2}|f(x)|\,dx=-\int_{1}^{2}f(x)\,dx=-\left(\dfrac{-22}{15}\right)=\dfrac{22}{15}.$$
Tổng diện tích.
$$S=S_1+S_2+S_3=\dfrac{22}{15}+\dfrac{76}{15}+\dfrac{22}{15}=\dfrac{120}{15}=8.$$
Vậy diện tích hình phẳng được tô màu bằng $8$. Chọn A.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.