Giải Bài 4.26 trang 29 SGK Toán 12

Lời giải

Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$:

$$V=\pi\int_{a}^{b} f^2(x)\,dx.$$

Ở đây $f(x)=\sqrt{1-x^2}$, $a=-1$, $b=1$, nên $f^2(x)=1-x^2$. Do đó:

$$V=\pi\int_{-1}^{1}\left(1-x^2\right)dx.$$

Tính nguyên hàm và thay cận:

$$V=\pi\left[x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\pi\left[\left(1-\dfrac{1}{3}\right)-\left(-1+\dfrac{1}{3}\right)\right]=\pi\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4\pi}{3}.$$

Vậy thể tích khối tròn xoay là $\dfrac{4\pi}{3}$ (đây chính là nửa trên của đường tròn $x^2+y^2=1$ quay quanh $Ox$ tạo thành khối cầu bán kính $1$, có thể tích $\dfrac{4}{3}\pi\cdot 1^3=\dfrac{4\pi}{3}$, phù hợp với kết quả).

Chọn đáp án D.

Đáp số