Giải Bài 4.28 trang 29 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tìm họ nguyên hàm của $y=2^x-\dfrac{1}{x}$.

Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản:
$$\int 2^x\,dx=\dfrac{2^x}{\ln 2},\qquad \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|.$$

Do đó:
$$\int\left(2^x-\dfrac{1}{x}\right)dx=\dfrac{2^x}{\ln 2}-\ln|x|+C.$$

*Kiểm tra:* $\left(\dfrac{2^x}{\ln 2}-\ln|x|\right)'=2^x-\dfrac{1}{x}$ (đúng đề bài).

b) Tìm họ nguyên hàm của $y=x\sqrt{x}+3\cos x-\dfrac{2}{\sin^2 x}$.

Viết lại $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$, rồi áp dụng các công thức:
$$\int x^{\frac{3}{2}}\,dx=\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\tfrac{5}{2}}=\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}=\dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x},$$
$$\int 3\cos x\,dx=3\sin x,\qquad \int\dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\cot x.$$

Do đó:
$$\int\left(x\sqrt{x}+3\cos x-\dfrac{2}{\sin^2 x}\right)dx=\dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x}+3\sin x+2\cot x+C.$$

*Kiểm tra:* $\left(\dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x}\right)'=x\sqrt{x}$; $(3\sin x)'=3\cos x$; $(2\cot x)'=-\dfrac{2}{\sin^2 x}$ (đúng đề bài).

Đáp số