Giải Bài 4.33 trang 29 SGK Toán 12

Lời giải

Xét vị trí hai đồ thị trên đoạn $[0;1]$.

Với mọi $x \in [0;1]$ ta luôn có $e^x \ge x$ (thật vậy, hàm $g(x)=e^x-x$ có $g'(x)=e^x-1 \ge 0$ trên $[0;1]$ nên $g$ đồng biến, mà $g(0)=1>0$, do đó $e^x-x>0$). Vậy $e^x \ge x$ trên cả đoạn, dấu giá trị tuyệt đối được bỏ trực tiếp.

Tính diện tích.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=e^x$, $y=x$, $x=0$, $x=1$ là:
$$S = \int_{0}^{1} \left| e^x - x \right|\,dx = \int_{0}^{1} \left( e^x - x \right)\,dx.$$

Ta có:
$$S = \left( e^x - \frac{x^2}{2} \right)\Big|_{0}^{1} = \left( e^1 - \frac{1}{2} \right) - \left( e^0 - 0 \right) = \left( e - \frac{1}{2} \right) - 1 = e - \frac{3}{2}.$$

Kết luận.
$$S = e - \frac{3}{2} \approx 1{,}22 \ (\text{đơn vị diện tích}).$$

Đáp số