Giải Câu hỏi trang 30 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi $M(x;y;z)$ là vị trí của vật thể tại thời điểm $t$, khi đó
$$x = \cos t - \sin t,\quad y = \cos t + \sin t,\quad z = \cos t.$$

Tìm một hệ thức không phụ thuộc $t$ giữa $x,y,z$.

Cộng hai tọa độ đầu để khử $\sin t$:
$$x + y = (\cos t - \sin t) + (\cos t + \sin t) = 2\cos t.$$

Mà $z = \cos t$, nên $2\cos t = 2z$. Do đó với mọi thời điểm $t$ ta luôn có
$$x + y = 2z \quad\Longleftrightarrow\quad x + y - 2z = 0.$$

Kết luận. Tọa độ của điểm $M$ tại mọi thời điểm $t$ đều thỏa mãn phương trình $x + y - 2z = 0$. Đây là phương trình của một mặt phẳng cố định (mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O$, có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1;1;-2)$).

Vậy vật thể luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định, đó là mặt phẳng $x + y - 2z = 0$.

*Kiểm tra:* với $t=0$ ta có $M(1;1;1)$, thay vào: $1+1-2\cdot 1 = 0$ (thỏa mãn); với $t=\dfrac{\pi}{2}$ ta có $M(-1;1;0)$, thay vào: $-1+1-2\cdot 0 = 0$ (thỏa mãn).

Đáp số