Giải Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán 12

Lời giải

a) Ta xét tích vô hướng của $\vec{n}$ với từng vectơ.

Với $\vec{u} = (a; b; c)$:
$$\vec{n} \cdot \vec{u} = a(bc' - b'c) + b(ca' - c'a) + c(ab' - a'b)$$
$$= abc' - ab'c + a'bc - abc' + ab'c - a'bc = 0.$$

Với $\vec{v} = (a'; b'; c')$:
$$\vec{n} \cdot \vec{v} = a'(bc' - b'c) + b'(ca' - c'a) + c'(ab' - a'b)$$
$$= a'bc' - a'b'c + a'b'c - ab'c' + ab'c' - a'bc' = 0.$$

Vì $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ và $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ nên $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

b) Ta có $\vec{n} = \vec{0}$ khi và chỉ khi cả ba tọa độ của nó bằng $0$:
$$bc' - b'c = 0,\quad ca' - c'a = 0,\quad ab' - a'b = 0.$$

Ba đẳng thức này viết lại thành:
$$bc' = b'c,\quad ca' = c'a,\quad ab' = a'b,$$
tức là các cặp tọa độ tương ứng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ tỉ lệ với nhau. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương (một trong hai vectơ bằng $\vec{0}$, hoặc tồn tại số $k$ sao cho $\vec{v} = k\vec{u}$).

Đáp số