Giải Luyện tập 3 trang 32 SGK Toán 12

Lời giải

Vì $A$, $B$, $C$ là ba điểm không thẳng hàng nên mặt phẳng $(ABC)$ hoàn toàn xác định. Một vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Bước 1. Tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

Ta có:
$$\overrightarrow{AB} = (-2-1;\ 1-(-2);\ 0-1) = (-3;\ 3;\ -1),$$
$$\overrightarrow{AC} = (-2-1;\ 3-(-2);\ 2-1) = (-3;\ 5;\ 1).$$

Hai vectơ này cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và không cùng phương (vì $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng).

Bước 2. Tính tích có hướng $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$.

$$\vec{n} = \left( \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} \right).$$

Tính từng thành phần:
- Thành phần thứ nhất: $3\cdot 1 - (-1)\cdot 5 = 3 + 5 = 8$;
- Thành phần thứ hai: $(-1)\cdot(-3) - (-3)\cdot 1 = 3 + 3 = 6$;
- Thành phần thứ ba: $(-3)\cdot 5 - 3\cdot(-3) = -15 + 9 = -6$.

Do đó $\vec{n} = (8;\ 6;\ -6)$.

Bước 3. Rút gọn.

Chia cả ba tọa độ cho $2$, ta được một vectơ pháp tuyến gọn hơn:
$$\vec{n} = (4;\ 3;\ -3).$$

Kiểm tra: $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} = 4\cdot(-3) + 3\cdot 3 + (-3)\cdot(-1) = -12 + 9 + 3 = 0$ và $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} = 4\cdot(-3) + 3\cdot 5 + (-3)\cdot 1 = -12 + 15 - 3 = 0$. Vậy $\vec{n}$ vuông góc với cả $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, nên $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của $(ABC)$.

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{n} = (4;\ 3;\ -3)$ (hoặc $(8;\ 6;\ -6)$).

Đáp số