Giải Vận dụng 1 trang 32 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tính $\vec{M} = [\overrightarrow{OP},\ \vec{F}]$

Với $\overrightarrow{OP} = (x;\ y;\ z)$ và $\vec{F} = (a;\ b;\ c)$, tích có hướng được tính bởi:

$$\vec{M} = [\overrightarrow{OP},\ \vec{F}] = \left( \begin{vmatrix} y & z \\ b & c \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} z & x \\ c & a \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} x & y \\ a & b \end{vmatrix} \right)$$

Do đó:

$$\vec{M} = (yc - zb;\ za - xc;\ xb - ya)$$

b) Vì sao moment lực tăng gấp đôi khi $\overrightarrow{OP'} = 2\overrightarrow{OP}$

Khi thay vị trí đặt lực từ $P$ sang $P'$ với $\overrightarrow{OP'} = 2\overrightarrow{OP} = (2x;\ 2y;\ 2z)$ và giữ nguyên $\vec{F} = (a;\ b;\ c)$, moment lực mới là:

$$\vec{M'} = [\overrightarrow{OP'},\ \vec{F}] = [2\overrightarrow{OP},\ \vec{F}]$$

Tích có hướng có tính chất $[k\vec{u},\ \vec{v}] = k[\vec{u},\ \vec{v}]$ với mọi số thực $k$. Áp dụng với $k = 2$:

$$\vec{M'} = 2[\overrightarrow{OP},\ \vec{F}] = 2\vec{M}$$

Suy ra $|\vec{M'}| = 2|\vec{M}|$, tức là độ lớn moment lực tăng lên gấp đôi (đpcm).

Rút ra để đỡ tốn sức: Với cùng một lực $\vec{F}$ tác động, moment lực tỉ lệ thuận với độ dài $|\overrightarrow{OP}|$ (khoảng cách từ điểm đặt lực đến con ốc). Vì vậy khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên cầm và tác động lực tại vị trí trên cán mỏ lết càng xa con ốc càng tốt — khi đó chỉ cần một lực nhỏ hơn vẫn tạo được moment lực đủ lớn để vặn ốc, giúp đỡ tốn sức.

Đáp số