Giải Hoạt động 6 trang 34 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ nhận cặp vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a;\ b;\ c)$ và $\vec{v} = (a';\ b';\ c')$. Do đó một vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của $(\alpha)$ phải vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}$, nên ta chọn $\vec{n}$ là tích có hướng của hai vectơ đó:

$$\vec{n} = [\vec{u},\ \vec{v}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & b & c \\ a' & b' & c' \end{vmatrix} = \left(\begin{vmatrix} b & c \\ b' & c' \end{vmatrix};\; -\begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix};\; \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}\right)$$

Suy ra:

$$\vec{n} = (bc' - b'c;\; ca' - c'a;\; ab' - a'b)$$

Vậy $\vec{n} = (bc' - b'c;\; ca' - c'a;\; ab' - a'b)$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ (với điều kiện $\vec{u}$, $\vec{v}$ không cùng phương để $\vec{n} \neq \vec{0}$).

b) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(x_0;\ y_0;\ z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (bc' - b'c;\; ca' - c'a;\; ab' - a'b)$. Áp dụng phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến, ta được:

$$(bc' - b'c)(x - x_0) + (ca' - c'a)(y - y_0) + (ab' - a'b)(z - z_0) = 0$$

Đáp số