Giải Luyện tập 7 trang 35 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích hướng của mặt phẳng.

Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với trục $Oy$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của $(\alpha)$ vuông góc với vectơ đơn vị $\vec{j} = (0; 1; 0)$ của trục $Oy$.

Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với đường thẳng $BC$ nên $\vec{n}$ cũng vuông góc với vectơ chỉ phương của $BC$:
$$\overrightarrow{BC} = (2-4;\ 3-1;\ 1-2) = (-2;\ 2;\ -1).$$

Tìm vectơ pháp tuyến.

Vì $\vec{n}$ vuông góc với cả $\vec{j}$ và $\overrightarrow{BC}$ nên ta chọn:
$$\vec{n} = \big[\vec{j},\ \overrightarrow{BC}\big] = \left( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} \right) = (-1;\ 0;\ 2).$$

Ta lấy $\vec{n} = (1; 0; -2)$ (chọn vectơ đối cho gọn).

Viết phương trình mặt phẳng.

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A(1; -2; -1)$ và nhận $\vec{n} = (1; 0; -2)$ làm vectơ pháp tuyến:
$$1\cdot(x-1) + 0\cdot(y+2) - 2\cdot(z+1) = 0$$
$$x - 1 - 2z - 2 = 0$$
$$x - 2z - 3 = 0.$$

Kiểm tra lại.

- $\vec{n}\cdot\vec{j} = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + (-2)\cdot 0 = 0$ nên $(\alpha)\parallel Oy$.
- $\vec{n}\cdot\overrightarrow{BC} = 1\cdot(-2) + 0\cdot 2 + (-2)\cdot(-1) = -2 + 2 = 0$ nên $(\alpha)\parallel BC$.
- Thay $A(1;-2;-1)$: $1 - 2\cdot(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ (thỏa mãn).
- Thay $B(4;1;2)$: $4 - 2\cdot 2 - 3 = -3 \ne 0$, nên $B \notin (\alpha)$, tức đường thẳng $BC$ song song thực sự với $(\alpha)$ (không nằm trong).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $x - 2z - 3 = 0$.

Đáp số