Giải Hoạt động 7 trang 35 SGK Toán 12

Lời giải

a) Một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(ABC)$

Mặt phẳng $(ABC)$ chứa ba điểm $A$, $B$, $C$ nên nó chứa hai vectơ:

$$\vec{AB} = (-1-1;\; 3-2;\; 4-3) = (-2;\; 1;\; 1),$$

$$\vec{AC} = (2-1;\; -1-2;\; 2-3) = (1;\; -3;\; -1).$$

Vì $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng nên $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương. Vậy $\vec{AB} = (-2;1;1)$ và $\vec{AC} = (1;-3;-1)$ là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(ABC)$.

b) Phương trình mặt phẳng $(ABC)$

Một vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ là tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương:

$$\vec{n} = \left[\vec{AB}, \vec{AC}\right] = \left( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix};\; \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix};\; \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} \right).$$

Tính từng định thức:

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1) - 1\cdot(-3) = -1 + 3 = 2,$$

$$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot 1 - (-2)\cdot(-1) = 1 - 2 = -1,$$

$$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (-2)\cdot(-3) - 1\cdot 1 = 6 - 1 = 5.$$

Suy ra $\vec{n} = (2;\; -1;\; 5)$.

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm $A(1;2;3)$ và nhận $\vec{n}=(2;-1;5)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$$2(x-1) - 1(y-2) + 5(z-3) = 0$$

$$\Leftrightarrow 2x - 2 - y + 2 + 5z - 15 = 0$$

$$\Leftrightarrow 2x - y + 5z - 15 = 0.$$

Kiểm tra lại:
- Với $B(-1;3;4)$: $2\cdot(-1) - 3 + 5\cdot 4 - 15 = -2 - 3 + 20 - 15 = 0$ (thỏa mãn).
- Với $C(2;-1;2)$: $2\cdot 2 - (-1) + 5\cdot 2 - 15 = 4 + 1 + 10 - 15 = 0$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $2x - y + 5z - 15 = 0$.

Đáp số