Giải Vận dụng 2 trang 36 SGK Toán 12

Lời giải

a) Toạ độ các vị trí $M_1$, $M_2$, $M_3$

Vật chuyển động có vị trí $M(\cos t - \sin t;\ \cos t + \sin t;\ \cos t)$.

- Với $t = 0$: $\cos 0 = 1,\ \sin 0 = 0$, nên
$$M_1(1 - 0;\ 1 + 0;\ 1) = M_1(1;\ 1;\ 1).$$
- Với $t = \dfrac{\pi}{2}$: $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0,\ \sin\dfrac{\pi}{2} = 1$, nên
$$M_2(0 - 1;\ 0 + 1;\ 0) = M_2(-1;\ 1;\ 0).$$
- Với $t = \pi$: $\cos\pi = -1,\ \sin\pi = 0$, nên
$$M_3(-1 - 0;\ -1 + 0;\ -1) = M_3(-1;\ -1;\ -1).$$

b) Chứng minh $M_1$, $M_2$, $M_3$ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$

Ta có:
$$\overrightarrow{M_1M_2} = (-2;\ 0;\ -1), \qquad \overrightarrow{M_1M_3} = (-2;\ -2;\ -2).$$

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\dfrac{-2}{-2} = 1$ nhưng $\dfrac{0}{-2} = 0 \ne 1$), do đó ba điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$ có một vectơ pháp tuyến là:
$$\vec{n} = \left[\overrightarrow{M_1M_2},\ \overrightarrow{M_1M_3}\right].$$

Tính từng thành phần:
$$n_x = 0\cdot(-2) - (-1)\cdot(-2) = -2,$$
$$n_y = (-1)\cdot(-2) - (-2)\cdot(-2) = 2 - 4 = -2,$$
$$n_z = (-2)\cdot(-2) - 0\cdot(-2) = 4.$$

Vậy $\vec{n} = (-2;\ -2;\ 4)$. Chọn vectơ pháp tuyến cùng phương gọn hơn: $\vec{n} = (1;\ 1;\ -2)$.

Mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$ đi qua $M_1(1;\ 1;\ 1)$ và nhận $\vec{n} = (1;\ 1;\ -2)$ làm vectơ pháp tuyến:
$$1(x - 1) + 1(y - 1) - 2(z - 1) = 0$$
$$\Leftrightarrow x + y - 2z = 0.$$

Kiểm tra lại: thay $M_2(-1;1;0)$ được $-1 + 1 - 0 = 0$ (đúng); thay $M_3(-1;-1;-1)$ được $-1 - 1 + 2 = 0$ (đúng).

Vậy phương trình mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$ là $x + y - 2z = 0$.

c) Vị trí $M(\cos t - \sin t;\ \cos t + \sin t;\ \cos t)$ có luôn thuộc mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$ không?

Thay toạ độ của $M$ vào vế trái của phương trình mặt phẳng:
$$x + y - 2z = (\cos t - \sin t) + (\cos t + \sin t) - 2\cos t.$$
$$= \cos t - \sin t + \cos t + \sin t - 2\cos t = 2\cos t - 2\cos t = 0.$$

Đẳng thức đúng với mọi giá trị $t$. Vậy điểm $M$ luôn luôn thuộc mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$; nghĩa là trong suốt quá trình chuyển động, vật luôn nằm trong mặt phẳng cố định $x + y - 2z = 0$.

Đáp số