Giải Vận dụng 3 trang 37 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Sàn phòng nằm trong mặt phẳng $(Oxyz)$ có $z=0$, tức mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$. Mỗi bức tường là một mặt phẳng thẳng đứng (vuông góc với sàn) nên đều song song với trục $Oz$, tức chứa vectơ $\vec{k}=(0;0;1)$, và đi qua cạnh đáy tương ứng của tứ giác $OABC$.

### a) Phương trình bốn mặt phẳng chứa bốn bức tường

• Tường chứa cạnh $OA$ với $O(0;0;0),\ A(2;0;0)$.

Cạnh $OA$ nằm trên trục $Ox$ (có $y=0$). Mặt phẳng thẳng đứng chứa $Ox$ chính là:
$$(OA):\ y=0.$$

• Tường chứa cạnh $AB$ với $A(2;0;0),\ B(2;3;0)$.

Hai điểm này đều có hoành độ $x=2$, cạnh $AB$ song song $Oy$. Mặt phẳng thẳng đứng chứa $AB$ là:
$$(AB):\ x=2.$$

• Tường chứa cạnh $CO$ với $C(0;2\sqrt2;0),\ O(0;0;0)$.

Hai điểm này đều có $x=0$, cạnh $CO$ nằm trên trục $Oy$. Mặt phẳng thẳng đứng chứa $CO$ là:
$$(CO):\ x=0.$$

• Tường chứa cạnh $BC$ với $B(2;3;0),\ C(0;2\sqrt2;0)$.

Mặt phẳng này chứa hai vectơ $\vec{BC}=(-2;\,2\sqrt2-3;\,0)$ và $\vec{k}=(0;0;1)$ nên có vectơ pháp tuyến
$$\vec{n}=\big[\vec{BC},\vec{k}\big]=\big(2\sqrt2-3;\ 2;\ 0\big).$$
Mặt phẳng qua $B(2;3;0)$:
$$(2\sqrt2-3)(x-2)+2(y-3)=0\ \Longleftrightarrow\ (2\sqrt2-3)x+2y-4\sqrt2=0.$$
Kiểm tra với $C(0;2\sqrt2;0)$: $2\cdot 2\sqrt2-4\sqrt2=0$ (đúng). Vậy:
$$(BC):\ (2\sqrt2-3)x+2y-4\sqrt2=0.$$

### b) Các cặp mặt phẳng vuông góc

Vectơ pháp tuyến của từng mặt phẳng:
$$\vec{n}_{OA}=(0;1;0),\quad \vec{n}_{AB}=(1;0;0),\quad \vec{n}_{CO}=(1;0;0),\quad \vec{n}_{BC}=(2\sqrt2-3;2;0).$$
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến vuông góc (tích vô hướng bằng $0$).

- $\vec{n}_{OA}\cdot\vec{n}_{AB}=0\Rightarrow (OA)\perp(AB)$.
- $\vec{n}_{OA}\cdot\vec{n}_{CO}=0\Rightarrow (OA)\perp(CO)$.
- $\vec{n}_{OA}\cdot\vec{n}_{BC}=2\neq0$; $\ \vec{n}_{AB}\cdot\vec{n}_{BC}=2\sqrt2-3\neq0$; $\ \vec{n}_{CO}\cdot\vec{n}_{BC}=2\sqrt2-3\neq0$ — các cặp này không vuông góc. Ngoài ra $(AB)\parallel(CO)$ vì chung pháp tuyến $(1;0;0)$.

Kết luận: Các cặp mặt phẳng vuông góc là $(OA)\perp(AB)$ và $(OA)\perp(CO)$ (tức bức tường trên cạnh $OA$ vuông góc với hai bức tường trên cạnh $AB$ và cạnh $CO$).

Đáp số