Giải Luyện tập 10 trang 38 SGK Toán 12

Lời giải

a) Xét vị trí tương đối của $(\alpha)$ và $(\beta)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_\alpha} = (5; 2; -4)$.

Mặt phẳng $(\beta)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_\beta} = (10; 4; -2)$.

Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Ta xét các tỉ số:

$$\frac{10}{5} = 2, \quad \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}.$$

Vì $2 \ne \dfrac{1}{2}$ nên $\vec{n_\alpha}$ và $\vec{n_\beta}$ không cùng phương. Do đó $(\alpha)$ và $(\beta)$ không song song với nhau (hai mặt phẳng này cắt nhau).

b) Chứng minh $M(1; -3; 5)$ không thuộc $(\alpha)$ nhưng thuộc $(\beta)$

Thay tọa độ $M$ vào vế trái phương trình $(\alpha)$:

$$5\cdot 1 + 2\cdot(-3) - 4\cdot 5 + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 = -15 \ne 0.$$

Vậy $M \notin (\alpha)$.

Thay tọa độ $M$ vào vế trái phương trình $(\beta)$:

$$10\cdot 1 + 4\cdot(-3) - 2\cdot 5 + 12 = 10 - 12 - 10 + 12 = 0.$$

Vậy $M \in (\beta)$ (đpcm).

c) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với $(\alpha)$

Vì $(P)$ song song với $(\alpha)$ nên $(P)$ nhận $\vec{n_\alpha} = (5; 2; -4)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1; -3; 5)$ có phương trình:

$$5(x - 1) + 2(y + 3) - 4(z - 5) = 0$$

$$\Leftrightarrow 5x - 5 + 2y + 6 - 4z + 20 = 0$$

$$\Leftrightarrow 5x + 2y - 4z + 21 = 0.$$

Vì $M \notin (\alpha)$ nên $(P)$ không trùng với $(\alpha)$, thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $(P): 5x + 2y - 4z + 21 = 0$.

Đáp số