Giải Vận dụng 4 trang 38 SGK Toán 12

Lời giải

a) Mỗi thí sinh được biểu diễn bởi điểm $M(x\,;\,y\,;\,z)$, trong đó $x$ là điểm Toán, $y$ là điểm Ngữ văn, $z$ là điểm Tiếng Anh.

Xét một thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng $27$, tức là:
$$x + y + z = 27 \iff x + y + z - 27 = 0.$$

Như vậy tọa độ điểm $M(x\,;\,y\,;\,z)$ biểu diễn thí sinh đó luôn thỏa mãn phương trình $x + y + z - 27 = 0$. Do đó mọi điểm biểu diễn ứng với các thí sinh có tổng số điểm bằng $27$ đều nằm trên mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$ (đpcm).

b) Xét hai thí sinh có cùng tổng số điểm ba môn, gọi tổng đó là $t$. Khi đó hai điểm biểu diễn của họ đều có tọa độ thỏa mãn:
$$x + y + z = t \iff x + y + z - t = 0,$$
nên cùng thuộc mặt phẳng $(P_t): x + y + z - t = 0$.

Với mỗi giá trị $t$ khác nhau, ta được một mặt phẳng $(P_t)$. Tất cả các mặt phẳng này đều có chung vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1\,;\,1\,;\,1)$; hơn nữa hai mặt phẳng $(P_{t_1})$ và $(P_{t_2})$ với $t_1 \neq t_2$ không có điểm chung (vì không thể vừa có $x+y+z = t_1$ vừa $x+y+z = t_2$). Do đó các mặt phẳng $(P_t)$ đôi một song song với nhau.

Vì mỗi môn thi có điểm nằm trong khoảng từ $0$ đến $10$ nên tổng $t = x + y + z$ chỉ nhận hữu hạn giá trị (nằm trong đoạn từ $0$ đến $30$). Ứng với mỗi giá trị tổng $t$ ta có đúng một mặt phẳng $(P_t)$, nên chỉ có một số hữu hạn mặt phẳng, và chúng đôi một song song.

Vậy tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau (mỗi mặt phẳng ứng với một tổng điểm $t$) sao cho hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì hai điểm biểu diễn của họ cùng thuộc một mặt phẳng trong số đó (đpcm).

Đáp số