Giải Hoạt động 10 trang 39 SGK Toán 12

Lời giải

a) Vì $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$ nên $MN \perp (P)$, tức là giá của $\overrightarrow{MN}$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Mặt khác, $\vec{n} = (A; B; C)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ nên giá của $\vec{n}$ cũng vuông góc với $(P)$.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\vec{n}$ có giá cùng vuông góc với $(P)$, suy ra $\overrightarrow{MN}$ và $\vec{n}$ cùng phương. Vì $\vec{n} \neq \vec{0}$ nên tồn tại số $k$ sao cho $\overrightarrow{MN} = k\vec{n}$.

Ta có $\overrightarrow{MN} = (x_N - x_0;\ y_N - y_0;\ z_N - z_0)$ và $k\vec{n} = (kA;\ kB;\ kC)$. Từ $\overrightarrow{MN} = k\vec{n}$ suy ra:
$$x_N = x_0 + kA,\quad y_N = y_0 + kB,\quad z_N = z_0 + kC.$$
Vậy $N(x_0 + kA;\ y_0 + kB;\ z_0 + kC)$.

b) Vì $N \in (P)$ nên toạ độ của $N$ thoả mãn phương trình $(P)$:
$$A(x_0 + kA) + B(y_0 + kB) + C(z_0 + kC) + D = 0.$$
Khai triển:
$$(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) + k(A^2 + B^2 + C^2) = 0.$$
Vì $\vec{n} \neq \vec{0}$ nên $A^2 + B^2 + C^2 > 0$, do đó:
$$k = -\dfrac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}.$$

c) Ta có $|\vec{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$, nên:
$$MN = |\overrightarrow{MN}| = |k|\,|\vec{n}| = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}.$$
Rút gọn (chia cho $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$):
$$MN = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$
Vì $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$ nên $MN$ chính là khoảng cách từ $M$ đến $(P)$. Vậy:
$$d\big(M, (P)\big) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Đáp số