Giải Luyện tập 11 trang 40 SGK Toán 12

Lời giải

a) Chứng minh $(P) \parallel (Q)$

Mặt phẳng $(P): x + 3y + z + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P} = (1; 3; 1)$.

Mặt phẳng $(Q): x + 3y + z + 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_Q} = (1; 3; 1)$.

Ta có $\vec{n_P} = \vec{n_Q}$ nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương, tức là hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, xét điểm $M(0; 0; -2)$ (vì $0 + 3\cdot 0 + (-2) + 2 = 0$ nên $M \in (P)$). Thay tọa độ $M$ vào $(Q)$:
$$0 + 3\cdot 0 + (-2) + 5 = 3 \neq 0,$$
nên $M \notin (Q)$.

Vậy $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau (đpcm).

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Lấy điểm $M(0; 0; -2) \in (P)$ như ở câu a).

Khoảng cách từ $M$ đến $(Q): x + 3y + z + 5 = 0$ là:
$$d(M, (Q)) = \frac{|0 + 3\cdot 0 + (-2) + 5|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}} = \frac{3\sqrt{11}}{11}.$$

Vì $(P) \parallel (Q)$ nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của $(P)$ đến $(Q)$:
$$d\big((P), (Q)\big) = \frac{3\sqrt{11}}{11} \approx 0{,}9.$$

Đáp số