Giải Vận dụng 5 trang 40 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Tính khoảng cách từ camera đến mặt phẳng $(P)$.

Camera đặt tại $C(1;2;4)$ và chiếu *thẳng* về phía $(P)$, nghĩa là trục của chùm nón quan sát vuông góc với $(P)$. Chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống $(P)$ là tâm của vùng quan sát (hình tròn).

Khoảng cách từ $C$ đến $(P): x + 2y + 2z + 3 = 0$ là
$$d = d\big(C,(P)\big) = \dfrac{|1 + 2\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \dfrac{|1 + 4 + 8 + 3|}{\sqrt{9}} = \dfrac{16}{3}.$$

Bước 2. Lập hệ thức tính bán kính.

Góc quan sát ngang (góc mở của chùm nón) là $115^\circ$, nên góc giữa trục nón và tia biên (nửa góc mở) là
$$\alpha = \dfrac{115^\circ}{2} = 57{,}5^\circ.$$

Gọi $H$ là tâm hình tròn quan sát, $M$ là một điểm trên đường tròn biên. Vì $CH \perp (P)$ nên tam giác $CHM$ vuông tại $H$, có $CH = d = \dfrac{16}{3}$ và $\widehat{HCM} = \alpha = 57{,}5^\circ$. Bán kính vùng quan sát là
$$R = HM = CH \cdot \tan\alpha = \dfrac{16}{3}\cdot \tan 57{,}5^\circ.$$

Bước 3. Tính và làm tròn.

$$R = \dfrac{16}{3}\cdot \tan 57{,}5^\circ \approx 5{,}333 \cdot 1{,}5697 \approx 8{,}37.$$

Vậy bán kính vùng quan sát trên $(P)$ là $R \approx 8{,}4$.

Đáp số