Giải Bài 5.3 trang 40 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với cả $(Q)$ và $(R)$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P$ của $(P)$ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của $(Q)$ và $(R)$. Do đó $\vec{n}_P$ cùng phương với tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến đó.

Bước 1. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ và $(R)$:
$$\vec{n}_Q = (3;\,2;\,-1),\qquad \vec{n}_R = (1;\,1;\,-1).$$

Bước 2. Tính tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến của $(P)$:
$$\vec{n}_P = \left[\vec{n}_Q,\,\vec{n}_R\right] = \left(\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix};\; \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix};\; \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right).$$
Ta có:
$$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1)-(-1)\cdot 1 = -1,$$
$$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)\cdot 1 - 3\cdot(-1) = 2,$$
$$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3\cdot 1 - 2\cdot 1 = 1.$$
Vậy $\vec{n}_P = (-1;\,2;\,1)$.

Bước 3. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;-1;5)$ và nhận $\vec{n}_P=(-1;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến:
$$-1\,(x-1) + 2\,(y+1) + 1\,(z-5) = 0$$
$$\Leftrightarrow -x + 2y + z - 2 = 0 \Leftrightarrow x - 2y - z + 2 = 0.$$

Kiểm tra lại. Thay $M(1;-1;5)$: $1 - 2\cdot(-1) - 5 + 2 = 1 + 2 - 5 + 2 = 0$ (đúng). Vectơ $\vec{n}_P=(-1;2;1)$ thỏa mãn $\vec{n}_P\cdot\vec{n}_Q = -3+4-1=0$ và $\vec{n}_P\cdot\vec{n}_R = -1+2-1=0$ nên $(P)\perp(Q)$ và $(P)\perp(R)$.

Kết luận. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $x - 2y - z + 2 = 0$.

Đáp số