Giải Bài 5.4 trang 40 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Gọi $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ cần tìm.

- Vì $(P)$ song song với trục $Ox$ nên $\vec{n}$ vuông góc với vectơ chỉ phương $\vec{i} = (1; 0; 0)$ của trục $Ox$.
- Vì $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + 2y - 3z + 1 = 0$ nên $\vec{n}$ vuông góc với vectơ pháp tuyến $\vec{n_Q} = (1; 2; -3)$ của $(Q)$.

Do $\vec{n}$ vuông góc với cả $\vec{i}$ và $\vec{n_Q}$ (hai vectơ không cùng phương), ta chọn:
$$\vec{n} = \left[\vec{i}, \vec{n_Q}\right] = \left( \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right) = (0; 3; 2).$$

Viết phương trình mặt phẳng. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2; 3; -1)$ và nhận $\vec{n} = (0; 3; 2)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
$$0(x - 2) + 3(y - 3) + 2(z + 1) = 0$$
$$\Leftrightarrow 3y - 9 + 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 7 = 0.$$

Kiểm tra lại.
- Thay $M(2; 3; -1)$: $3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) - 7 = 9 - 2 - 7 = 0$ (đúng, $M \in (P)$).
- Song song với $Ox$: $\vec{n} \cdot \vec{i} = 0$ (đúng); và $M \notin Ox$ nên $(P)$ không chứa $Ox$, thật sự song song.
- Vuông góc với $(Q)$: $\vec{n} \cdot \vec{n_Q} = 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) = 6 - 6 = 0$ (đúng).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $3y + 2z - 7 = 0$.

Đáp số