Giải Bài 5.6 trang 40 SGK Toán 12

Lời giải

a) Chứng minh $(P) \parallel (Q)$.

Mặt phẳng $(P): x + y + z + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P} = (1; 1; 1)$.

Mặt phẳng $(Q): x + y + z + 6 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_Q} = (1; 1; 1)$.

Ta có $\vec{n_P} = \vec{n_Q} = (1; 1; 1)$ nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương.

Mặt khác, lấy điểm $M(-2; 0; 0) \in (P)$ (vì $-2 + 0 + 0 + 2 = 0$). Thay tọa độ $M$ vào $(Q)$:
$$-2 + 0 + 0 + 6 = 4 \ne 0,$$
nên $M \notin (Q)$.

Vậy $(P) \parallel (Q)$ (đpcm).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Vì $(P) \parallel (Q)$ nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm $M(-2; 0; 0) \in (P)$ đến mặt phẳng $(Q)$:
$$d\big((P),(Q)\big) = d\big(M,(Q)\big) = \dfrac{|1\cdot(-2) + 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{|4|}{\sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $\dfrac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}31$.

Đáp số