Giải Bài 5.7 trang 40 SGK Toán 12

Lời giải

a) Chứng minh $(P) \perp (Q)$

Mặt phẳng $(P): x + 3y - z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P} = (1; 3; -1)$.

Mặt phẳng $(Q): x - y - 2z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_Q} = (1; -1; -2)$.

Xét tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
$$\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 1\cdot 1 + 3\cdot(-1) + (-1)\cdot(-2) = 1 - 3 + 2 = 0.$$

Vì $\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 0$ nên $\vec{n_P} \perp \vec{n_Q}$, suy ra hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau (đpcm).

b) Tìm điểm $M \in Ox$ cách đều $(P)$ và $(Q)$

Vì $M$ thuộc trục $Ox$ nên $M(a; 0; 0)$.

Khoảng cách từ $M$ đến $(P)$:
$$d(M, (P)) = \frac{|a + 3\cdot 0 - 0|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{11}}.$$

Khoảng cách từ $M$ đến $(Q)$:
$$d(M, (Q)) = \frac{|a - 0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|a+1|}{\sqrt{6}}.$$

Điểm $M$ cách đều hai mặt phẳng khi:
$$\frac{|a|}{\sqrt{11}} = \frac{|a+1|}{\sqrt{6}} \;\Leftrightarrow\; \sqrt{6}\,|a| = \sqrt{11}\,|a+1|.$$

Bình phương hai vế:
$$6a^2 = 11(a+1)^2 \;\Leftrightarrow\; 6a^2 = 11a^2 + 22a + 11 \;\Leftrightarrow\; 5a^2 + 22a + 11 = 0.$$

Giải phương trình bậc hai:
$$a = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 - 4\cdot 5 \cdot 11}}{2\cdot 5} = \frac{-22 \pm \sqrt{264}}{10} = \frac{-11 \pm \sqrt{66}}{5}.$$

Vậy có hai điểm thỏa mãn:
$$M_1\left(\frac{-11 + \sqrt{66}}{5}; 0; 0\right) \approx (-0{,}575;\, 0;\, 0),$$
$$M_2\left(\frac{-11 - \sqrt{66}}{5}; 0; 0\right) \approx (-3{,}825;\, 0;\, 0).$$

Đáp số