Giải Bài 5.8 trang 40 SGK Toán 12

Lời giải

Mô hình hoá bài toán. Bốn mái nhà là bốn mặt bên của một hình chóp đều, nên ta xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ (đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, $SO$ vuông góc với đáy). Hai mái kề nhau chính là hai mặt bên có chung một cạnh bên; yêu cầu là hai mặt bên kề nhau vuông góc với nhau. Ta kiểm tra xem điều này có xảy ra được với hình chóp đều nào không.

Chọn hệ toạ độ $Oxyz$. Đặt tâm đáy tại gốc $O$, chọn đơn vị sao cho
$$A(1;1;0),\ B(-1;1;0),\ C(-1;-1;0),\ D(1;-1;0),\ S(0;0;h),$$
với $h>0$ là chiều cao của chóp. Đây là một hình chóp tứ giác đều bất kì (thay đổi $h$ ta được mọi hình chóp đều có đáy vuông đó).

Viết vectơ pháp tuyến của hai mặt bên kề nhau. Xét hai mái kề nhau là hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ (chung cạnh bên $SB$).

- Với mặt $(SAB)$: $\vec{AB}=(-2;0;0)$, $\vec{AS}=(-1;-1;h)$, nên
$$\vec{n_1}=\big[\vec{AB},\vec{AS}\big]=(0;2h;2)\ \parallel\ (0;h;1).$$
- Với mặt $(SBC)$: $\vec{BC}=(0;-2;0)$, $\vec{BS}=(1;-1;h)$, nên
$$\vec{n_2}=\big[\vec{BC},\vec{BS}\big]=(-2h;0;2)\ \parallel\ (-h;0;1).$$

Xét điều kiện hai mặt vuông góc. Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$. Ta có
$$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=(0)(-h)+(h)(0)+(1)(1)=1\neq 0\quad\text{với mọi } h>0.$$

Vì tích vô hướng luôn bằng $1$ (khác $0$) với mọi chiều cao $h$, nên không tồn tại hình chóp đều nào để hai mặt bên kề nhau vuông góc với nhau.

Nhận xét thêm (góc giữa hai mái). Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt bên kề nhau, ta có
$$\cos\varphi=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{h^2+1}\cdot\sqrt{h^2+1}}=\frac{1}{h^2+1}.$$
Do $h>0$ nên $0<\cos\varphi<1$, tức là $0^\circ<\varphi<90^\circ$. Khi $h$ càng lớn (mái càng dốc) thì $\varphi$ càng tiến gần $90^\circ$ nhưng không bao giờ đạt tới $90^\circ$.

Kết luận. Ý tưởng của bác An không thực hiện được: không thể làm bốn mái là bốn mặt bên của một hình chóp đều mà hai mái kề nhau vuông góc với nhau.

Đáp số