Giải Bài 5.10 trang 41 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích giả thiết.

Chọn hệ trục $Oxyz$ với mặt phẳng $(Oxy)$ nằm ngang và trục $Oz$ hướng thẳng đứng. Khi đó:

- Một vectơ nằm ngang là vectơ có giá song song với mặt phẳng $(Oxy)$, tức là có tọa độ thành phần theo $Oz$ bằng $0$.
- Một vectơ thẳng đứng là vectơ có giá song song với trục $Oz$.

Theo giả thiết, thanh $PQ$ luôn nằm ngang và $O$ là tâm cối nằm cùng độ cao với thanh này, nên đoạn $OP$ nằm ngang. Do đó $\overrightarrow{OP}$ là một vectơ nằm ngang:
$$\overrightarrow{OP} = (a;\, b;\, 0).$$

Vectơ lực $\vec{F}$ có giá song song với thanh $AB$, mà $AB$ cũng nằm ngang, nên $\vec{F}$ là một vectơ nằm ngang:
$$\vec{F} = (c;\, d;\, 0).$$

Tính vectơ moment lực.

Theo công thức, $\vec{M} = \big[\overrightarrow{OP},\, \vec{F}\,\big]$. Áp dụng công thức tích có hướng:
$$\vec{M} = \left( b\cdot 0 - 0\cdot d;\ \ 0\cdot c - a\cdot 0;\ \ a\cdot d - b\cdot c \right) = \left( 0;\, 0;\, ad - bc \right).$$

Kết luận.

Vectơ $\vec{M} = (0;\, 0;\, ad - bc)$ có hai thành phần theo $Ox$ và $Oy$ đều bằng $0$, nên $\vec{M}$ cùng phương với vectơ $\vec{k} = (0;0;1)$ của trục $Oz$. Vì $\overrightarrow{OP}$ và $\vec{F}$ là hai vectơ nằm ngang không cùng phương (thanh $PQ$ và thanh $AB$ có phương khác nhau) nên $ad - bc \neq 0$, do đó $\vec{M} \neq \vec{0}$.

Vậy giá của vectơ moment lực $\vec{M}$ có phương thẳng đứng (song song với trục $Oz$).

*Cách hiểu theo tính chất tích có hướng:* $\vec{M} = [\overrightarrow{OP}, \vec{F}]$ luôn vuông góc với cả $\overrightarrow{OP}$ và $\vec{F}$. Do $\overrightarrow{OP}$ và $\vec{F}$ là hai vectơ nằm ngang không cùng phương nên chúng xác định phương của mặt phẳng nằm ngang; vectơ vuông góc với mặt phẳng nằm ngang chính là vectơ có phương thẳng đứng (đpcm).

Đáp số