Giải Bài 1.18 trang 24 SGK Toán 9

Lời giải

Gọi ẩn và điều kiện

Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng một mình xong công việc là $x$ (giờ) và thời gian người thứ hai làm riêng một mình xong công việc là $y$ (giờ). Điều kiện: $x>0,\ y>0$.

Coi cả công việc là $1$ đơn vị.

- Trong $1$ giờ, người thứ nhất làm được $\dfrac{1}{x}$ (công việc).
- Trong $1$ giờ, người thứ hai làm được $\dfrac{1}{y}$ (công việc).

Lập hệ phương trình

Hai người cùng làm trong $16$ giờ thì xong, nên trong $1$ giờ cả hai làm được $\dfrac{1}{16}$ công việc:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}.$$

Người thứ nhất làm $3$ giờ và người thứ hai làm $6$ giờ thì được $25\% = \dfrac{1}{4}$ công việc:
$$\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}.$$

Ta có hệ:
$$\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\\[2mm]\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{4}\end{cases}$$

Giải hệ

Đặt $u=\dfrac{1}{x},\ v=\dfrac{1}{y}$. Hệ trở thành:
$$\begin{cases}u+v=\dfrac{1}{16}\\[1mm]3u+6v=\dfrac{1}{4}\end{cases}$$

Nhân phương trình thứ nhất với $3$: $3u+3v=\dfrac{3}{16}$.

Lấy phương trình thứ hai trừ đi ta được:
$$3v=\frac{1}{4}-\frac{3}{16}=\frac{4}{16}-\frac{3}{16}=\frac{1}{16}\ \Rightarrow\ v=\frac{1}{48}.$$

Suy ra:
$$u=\frac{1}{16}-\frac{1}{48}=\frac{3}{48}-\frac{1}{48}=\frac{2}{48}=\frac{1}{24}.$$

Trở lại ẩn ban đầu:
$$\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\ \Rightarrow\ x=24;\qquad \frac{1}{y}=\frac{1}{48}\ \Rightarrow\ y=48.$$

Cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện $x>0,\ y>0$.

Kiểm tra lại

- $\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{48}=\dfrac{2}{48}+\dfrac{1}{48}=\dfrac{3}{48}=\dfrac{1}{16}$ (đúng, cùng làm $16$ giờ xong).
- $\dfrac{3}{24}+\dfrac{6}{48}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}=25\%$ (đúng).

Kết luận

Nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong $24$ giờ, còn người thứ hai hoàn thành công việc trong $48$ giờ.

Đáp số