Giải Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 9

Lời giải

Điều kiện xác định. Vì $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ và $x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0$ với mọi $x$, nên phương trình xác định khi $x-1\neq 0$, tức là $x\neq 1$.

Quy đồng và khử mẫu. Mẫu thức chung là $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$. Viết lại từng phân thức:

$$\frac{1}{x-1}=\frac{x^2+x+1}{x^3-1},\qquad \frac{4x}{x^3-1},\qquad \frac{x}{x^2+x+1}=\frac{x(x-1)}{x^3-1}.$$

Phương trình trở thành:

$$\frac{x^2+x+1}{x^3-1}-\frac{4x}{x^3-1}=\frac{x(x-1)}{x^3-1}.$$

Vì các mẫu bằng nhau (và khác $0$ do $x\neq 1$), ta suy ra tử thức bằng nhau:

$$x^2+x+1-4x=x(x-1).$$

Giải phương trình.

$$x^2-3x+1=x^2-x.$$

Trừ $x^2$ ở hai vế:

$$-3x+1=-x \;\Rightarrow\; 1=2x \;\Rightarrow\; x=\frac{1}{2}.$$

Kiểm tra điều kiện. Giá trị $x=\dfrac{1}{2}$ thỏa mãn $x\neq 1$ nên nhận được.

Thử lại. Với $x=\dfrac{1}{2}$: vế trái $=\dfrac{1}{-\frac12}-\dfrac{4\cdot\frac12}{\frac18-1}=-2-\dfrac{2}{-\frac78}=-2+\dfrac{16}{7}=\dfrac{2}{7}$; vế phải $=\dfrac{\frac12}{\frac14+\frac12+1}=\dfrac{\frac12}{\frac74}=\dfrac{2}{7}$. Hai vế bằng nhau.

Kết luận. Phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{1}{2}$.

Đáp số