Giải Bài 6.7 trang 10 SGK Toán 9

Lời giải

a) Tìm hệ số $a$ và tính độ dài $HK$.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ như Hình 6.8, gốc $O$ là đỉnh của cổng vòm, parabol có dạng $y = ax^2$.

Vì chiều rộng chân cổng $AB = 6$ m nên $A$ và $B$ đối xứng qua trục $Oy$, có hoành độ $x = -3$ và $x = 3$.

Chiều cao cổng $OI = 4{,}5$ m nên hai chân cổng $A$, $B$ nằm ở mặt đất, thấp hơn đỉnh $O$ là $4{,}5$ m, tức có tung độ $y = -4{,}5$.

Vậy điểm $B(3\,;\,-4{,}5)$ thuộc parabol. Thay vào $y = ax^2$:
$$-4{,}5 = a \cdot 3^2 = 9a \;\Rightarrow\; a = \dfrac{-4{,}5}{9} = -\dfrac{1}{2}.$$

Do đó hàm số là $y = -\dfrac{1}{2}x^2$.

Điểm $H$ cách điểm chính giữa $I$ là $2$ m nên $H$ có hoành độ $x = 2$; điểm $K$ nằm trên vòm cổng (thuộc parabol) với cùng hoành độ $x = 2$. Tung độ của $K$ là:
$$y_K = -\dfrac{1}{2}\cdot 2^2 = -2.$$

$H$ nằm trên mặt đất nên $y_H = -4{,}5$. Vậy:
$$HK = y_K - y_H = -2 - (-4{,}5) = 2{,}5 \text{ (m)}.$$

Vậy $a = -\dfrac{1}{2}$ và $HK = 2{,}5$ m.

b) Xe tải có đi qua được cổng vòm hay không?

Xe tải rộng $2$ m nên khi đi chính giữa cổng, hai bên thành xe cách trục $Oy$ là $1$ m, tức ứng với hoành độ $x = 1$ và $x = -1$.

Tại $x = 1$, chiều cao của cổng (khoảng cách từ mặt đất tới vòm) là:
$$y = -\dfrac{1}{2}\cdot 1^2 = -0{,}5,$$
nên chiều cao cổng tại vị trí đó bằng:
$$-0{,}5 - (-4{,}5) = 4 \text{ (m)}.$$

Do cổng đối xứng nên tại $x = -1$ chiều cao cũng là $4$ m. Như vậy trong suốt bề rộng của xe ($-1 \le x \le 1$), chiều cao thấp nhất của vòm cổng là $4$ m (đạt tại hai mép $x = \pm 1$).

Vì chiều cao của xe là $3$ m $< 4$ m nên xe tải đi qua được cổng vòm.

Vậy xe tải này có thể đi qua được cổng vòm.

Đáp số