Giải Bài 3.29 trang 65 SGK Toán 9

Lời giải

## Bài 3.29

a) $3\sqrt{45} + \dfrac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{245}$

Đưa từng hạng tử về cùng căn $\sqrt{5}$:

$$3\sqrt{45} = 3\sqrt{9\cdot 5} = 3\cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$$

$$\dfrac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{\dfrac{15}{3}} = 5\sqrt{5}$$

$$2\sqrt{245} = 2\sqrt{49\cdot 5} = 2\cdot 7\sqrt{5} = 14\sqrt{5}$$

Do đó:

$$3\sqrt{45} + \dfrac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{245} = 9\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 14\sqrt{5} = 0.$$

b) $\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-1} - \dfrac{\sqrt{21}+\sqrt{7}}{\sqrt{3}+1} + \sqrt{7}$

Phân tích để rút gọn từng phân thức.

Với phân thức thứ nhất: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{4} = 2$, nên tử số $= 2\sqrt{3} - 2 = 2(\sqrt{3}-1)$. Suy ra:

$$\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1} = 2.$$

Với phân thức thứ hai: $\sqrt{21} = \sqrt{7}\cdot\sqrt{3}$, nên tử số $= \sqrt{7}\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{7}(\sqrt{3}+1)$. Suy ra:

$$\dfrac{\sqrt{21}+\sqrt{7}}{\sqrt{3}+1} = \dfrac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{7}.$$

Do đó:

$$\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-1} - \dfrac{\sqrt{21}+\sqrt{7}}{\sqrt{3}+1} + \sqrt{7} = 2 - \sqrt{7} + \sqrt{7} = 2.$$

c) $\dfrac{3-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} + \sqrt{3}\left(2\sqrt{3}-1\right) + \sqrt{12}$

Rút gọn phân thức: tử số $3 - \sqrt{3} = \sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)$, mẫu số $1 - \sqrt{3} = -(\sqrt{3}-1)$. Suy ra:

$$\dfrac{3-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{-(\sqrt{3}-1)} = -\sqrt{3}.$$

Khai triển tích: $\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}-1\right) = 2\cdot 3 - \sqrt{3} = 6 - \sqrt{3}$.

Và $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Do đó:

$$-\sqrt{3} + \left(6 - \sqrt{3}\right) + 2\sqrt{3} = 6 + \left(-\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2\sqrt{3}\right) = 6.$$

d) $\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} - \dfrac{6}{\sqrt{6}}$

Trục căn thức ở mẫu từng hạng tử.

$$\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$$

$$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$$

$$\dfrac{6}{\sqrt{6}} = \dfrac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}.$$

Do đó:

$$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} - \sqrt{6} = \dfrac{2\sqrt{6}}{2} - \sqrt{6} = \sqrt{6} - \sqrt{6} = 0.$$

Đáp số